MathsTombé 7 fois entre 2020 et 2026

Complexes, intégrales et géométrie dans l'espace

Forme exponentielle, modules, ensembles de points, primitives, intégration par parties et plans de l'espace : le gros bloc de calcul des maths du CNC.

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Les 6 astuces · clique pour ouvrir

Très fréquentgratuitePuissance d'un complexe : passer par la forme exponentielle

Dès qu'une puissance élevée apparaît, on écrit le complexe sous forme exponentielle. Quelques formes sont à reconnaître immédiatement.

Formule

$1 + i = 2 e^{iπ /4} 1 + i 3 = 2 e^{iπ /3} \frac{1 + i}{1 - i} = i$
$(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{in θ}$

Exemple

$(1 + i)^{20} = (2)^{20} e^{i 20 π /4} = 2^{10} e^{5 iπ} = - 1024$ : la partie imaginaire est nulle.

Piège

Oublier d'élever le module à la puissance : $(2)^{20} = 2^{10}$ , et pas $2$ .

Mémo

Puissance → exponentielle. Module puissance n, argument fois n.

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AstuceModules : factoriser par l'angle moitié

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Piège classiqueEnsembles de points : cercle, droite ou médiatrice

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Très fréquentReconnaître u'/u, u'eᵘ ou u'/√u

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Formule rapideIntégration par parties, Chasles et valeur absolue

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Formule rapidePlans, distances et coplanarité dans l'espace

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L'essentiel du cours (8 points)

01
Forme exponentielle : $z = r e^{i θ}$ avec $r = ∣ z ∣$ et $θ = ar g z$ ; $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ .
02
Moivre : $(r e^{i θ})^{n} = r^{n} e^{in θ}$ ; $∣ z z^{'} ∣ = ∣ z ∣ ∣ z^{'} ∣$ et $ar g (z z^{'}) = ar g z + ar g z^{'}$ .
03
$∣ z ∣^{2} = z \overset{z}{ˉ}$ ; $z$ est réel si $z = \overset{z}{ˉ}$ , imaginaire pur si $z = - \overset{z}{ˉ}$ .
04
$∣ z - a ∣ = r$ : cercle de centre $A$ et de rayon $r$ ; $∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$ : médiatrice de $[A B]$ .
05
Primitives usuelles : $\frac{u ^{'}}{u} \to ln ∣ u ∣$ , $u^{'} e^{u} \to e^{u}$ , $u^{'} u^{n} \to \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ , $\frac{u ^{'}}{u} \to 2 u$ .
06
Intégration par parties : $\int_{a}^{b} u v^{'} = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v$ .
07
Plan $a x + b y + cz + d = 0$ : vecteur normal $n (a, b, c)$ ; distance de $M_{0}$ au plan : $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
08
Trois vecteurs sont coplanaires si leur produit mixte $(u \land v) \cdot w$ est nul.

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