Étude de fonctions : limites et dérivées

Formes indéterminées : $\infty -\infty$, $0\times \infty$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\frac{0}{0}$. Les autres formes se calculent directement.

Croissances comparées : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$.

Limites usuelles en $0$ : $\frac{e^x-1}{x}\to 1$, $\frac{\ln (1+x)}{x}\to 1$, $\frac{\sin x}{x}\to 1$.

$f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ a une limite finie en $a$. Dérivable implique continue ; la réciproque est fausse.

Dérivées composées : $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$, $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$, $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Le signe de $f^{\prime }$ donne les variations ; si $f^{\prime }$ s'annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum local.

Asymptotes : verticale $x=a$ si $f$ tend vers $\pm \infty$ en $a$ ; horizontale $y=b$ si $f\to b$ en $\pm \infty$ ; oblique $y=mx+p$ si $f(x)-(mx+p)\to 0$.

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$.